Chamamos de
progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda seqüência em que cada
número, somado a um número fixo, resulta no próximo número da seqüência. O
número fixo é chamado de razão da progressão e os números da seqüência são
chamados de termos da progressão.
Observe os
exemplos:
50, 60, 70,
80 é uma PA de 4 termos, com razão 10.
3, 5, 7, 9,
11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2.
-8, -5, -2,
1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3.
156, 152,
148 é uma PA de 3 termos, com razão -4.
100, 80,
60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20.
6, 6, 6,
6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 0.
Numa PA de
7 termos, o primeiro deles é 6, o segundo é 10. Escreva todos os termos dessa
PA.
6, 10, 14,
18, 22, 26, 30
Numa PA de
5 termos, o último deles é 201 e o penúltimo é 187. Escreva todos os termos
dessa PA.
145, 159,
173, 187, 201
Numa PA de
8 termos, o 3º termo é 26 e a razão é -3. Escreva todos os termos dessa PA.
32, 29, 26,
23, 20, 17, 14, 11
Numa PA, o
1º termo é 45 e o 2º termo é 80. Qual a razão dessa PA.
Numa PA, o
5º termo é -7 e o 6º termo é 15. Qual a razão dessa PA.
Símbolos
usados nas progressões
Em qualquer
seqüência, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo
termo por a2, o terceiro termo por a3, e assim por
diante. Generalizando, o termo da seqüência que está na posição n é indicado
por an.
Veja alguns
exemplos:
Na PA 2,
12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e
a4 = 32
Quando
escrevemos que, numa seqüência, tem-se a5 = 7, por exemplo,
observe que o índice 5 indica a posição que o termo ocupa na seqüência. No
caso, trata-se do 5º termo da seqüência. Já o símbolo a5 indica o
valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7.
A razão de
uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo
da PA e o termo anterior.
Observe os
exemplos:
Na PA 1856,
1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r =
7, pois:
a2
– a1 = 1863 - 1856 = 7
a3
– a2 = 1870 – 1863 = 7
a4
– a3 = 1877 – 1870 = 7
a5
– a4 = 1884 – 1877 = 7
Na PA 20,
15, 10, 5
a razão é r = -5, pois:
a2
– a1 = 15 – 20 = -5
a3
– a2 = 10 – 15 = -5
a4
– a3 = 5 – 10 = -5
Classificação
das progressões aritméticas
Uma PA é
crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o
antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão
seja positiva.
Exemplo:
(7, 11, 15,
19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4
Uma PA é
decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o
antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão
seja negativa.
Exemplo:
(50, 40,
30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10
Uma PA é
constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é
necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero.
Exemplo:
Determine x
para que a seqüência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA.
5x – ( 3 +
x ) = 2x + 11 – 5x
5x – 3 – x
= 2x +11 – 5x
5x – x – 2x
+ 5x = 11 + 3
7x = 14
x = 14/7 =
2
Fórmula do
termo geral da PA
an
= a1 + (n – 1).r
Determinar
o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)
r = 4 a1 = 9 n = 61 a61 = ?
a61
= 9 + (61 – 1).4
a61
= 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249
Determinar
a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1
= 2 e
a8 = 3
an =
a1 + ( n – 1 ).r
a8
= a1 + (8 – 1 ).r
a8
= a1 + 7r
3 = 2 + 7r
7r = 3 – 2
7r = 1
r = 1/7
Determinar
o número de termos da PA
(4,7,10,...,136)
a1
= 4 an = 136 r = 7 – 4 = 3
an
= a1 + (n – 1).r
136 = 4 +
(n – 1).3
136 = 4 +
3n – 3
3n = 136 –
4 + 3
3n = 135
n = 135/3 = 45 termos
Determinar
a razão da PA tal que:
a1
+ a4 = 12 e a3 + a5 = 18
a4 =
a1 + (4 – 1).r
a3 = a1 + (3 – 1).r a5 = a1 + 4r
a4
= a1 + 3r
a3 = a1 + 2r
a1
+ a1 + 3r = 12
a1
+ 2r + a1 + 4r = 18
2a1
+ 3r = 12
2a1
+ 6r = 18
3r = 6
r = 6/3 = 2
Interpolar
(inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem .
Interpolar
(ou inserir) cinco meios aritméticos entre 1 e 25, nessa ordem, significa
determinar a PA de primeiro termo igual a 1 e último termo igual a 25.
(1,_,_,_,_,_,25)
a7
= a1 + 6r
25 = 1 + 6r
6r = 24
r = 24/6
r = 4
(1, 5, 9,
13, 17, 21, 25)
Representação
genérica de uma PA
PA de três
termos:
(x, x + r,
x + 2r)
ou
(x – r, x ,
x + r), em que a razão é r
PA de
quatro termos:
(x, x + r,
x + 2r, x + 3r)
ou
(x – 3r, x
– r, x + r, x + 3r), em que a razão é 2r
Cálculo da
soma dos n primeiros termos de uma PA
Em uma pequena escola do principado de Braunschweig,
Alemanha, em 1785, o professor Buttner propôs a seus alunos que somassem os
números naturais de 1
a 100. Apenas três minutos
depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se da mesa do senhor
Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta, proclamou: “ taí “. O professor,
assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote viria a
ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss
(1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu
que a soma do primeiro número, 1, com o último, 100, é igual a 101; a soma do
segundo número, 2 , com o penúltimo, 99 , é igual a 101; também a soma do
terceiro número, 3 , com o antepenúltimo, 98 , é igual a 101; e assim por
diante, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos
extremos.
1 2 3
4..................................97
98 99 100
4 + 97 = 101
3 + 98 = 101
2 + 99 = 101
1 + 100 = 101
Como são
possíveis cinqüenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que:
1 + 2 + 3 +
4 + .......................... + 97 + 98 + 99 + 100 = 50.101 = 5050
Esse
raciocínio pode ser estendido para o cálculo da soma dos n primeiros termos
de uma progressão aritmética qualquer:
Calcular a
soma dos trinta primeiros termos da PA (4, 9, 14, 19,...).
a30
= a1 + (30 – 1).r
a30
= a1 + 29r
a30
= 4 + 29.5 = 149
Calcular a
soma dos n primeiros termos da PA (2, 10, 18, 26,...).
an
= 2 + (n – 1).8
an
= 2 + 8n – 8
an
= 8n – 6
  
Determine a
soma dos termos da PA (6, 10, 14,..., 134).
Calcule a
soma dos múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 300.
Múltiplos
de 7 (0, 7, 14, 21, 28,...).
O primeiro
múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 105.
O último
múltiplo de 7 compreendido entre 100 e 300 é o 294.
294 = 105 +
(n – 1).7
294 = 105 +
7n – 7
7n = 294 –
105 + 7
7n = 196
n = 196/7 = 28
Denominamos
de progressão geométrica, ou simplesmente PG, a toda seqüência de números não
nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, resulta no
próximo número da seqüência. Esse número fixo é chamado de razão da
progressão e os números da seqüência recebem o nome de termos da progressão.
Observe
estes exemplos:
8, 16, 32,
64, 128, 256, 512, 1024 é uma PG de 8 termos, com razão 2.
5, 15,
45,135 é uma PG de 4 termos, com razão 3.
3000, 300,
30, 3 é uma PG de 4 termos, com razão 1/10
Numa PG de
5 termos o 1º termo é 2 e o 2º termo é 12. Escreva os termos dessa PG.
2, 12, 72,
432, 2592
Numa PG de 4 termos, o último termo é 500 e o
penúltimo é 100. Escreva os termos dessa PG.
4,20,100,500
Numa PG de 6 termos, o 1º termo é 3 e a razão é
10. Qual o 6º termo dessa PG.
3,30,300,3000,30000,300000
a6
= 300000
Numa PG de
5 termos, o 3º termo é -810 e a razão é -3. Escreva os termos dessa PG.
-90,270,-810,2430,-7290
Numa PG, o 9º termo é 180 e o 10º termo é 30.
Qual a razão dessa PG.
q = 30/180
= 3/18 = 1/6
A razão é
1/6
Fórmula do
termo geral de uma progressão geométrica.
Determinar
o 15º termo da progressão geométrica (256, 128, 64,...).
Determinar
a razão da PG tal que:
Determinar
o número de termos da PG (128, 64, 32,......, 1/256).
Determinar
a razão da PG tal que:
Representação
genérica de uma PG:
a) PG de
três termos, (x, xq, xq²) em que a razão é q;
(x/q, x,
xq), com razão q, se q ≠ 0.
b) PG de
quatro termos, (x, xq, xq², xq³), com razão q;
(x/q³, x/q,
xq, xq³), com razão q², se q ≠ 0.
Determinar a PG de três termos, sabendo que o
produto desses termos é 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo é 10.
Soma dos n
primeiros termos de uma PG:
Sendo Sn
a soma dos n primeiros termos da PG (a1,a2, a3,...an,...)
de razão q, temos:
Se q = 1,
então Sn = n.a1
Calcular a
soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12,....).
 Exercícios resolvidos de PA e PG |
Dada a PA
(a + b,5a – b,...) determine seu 4º termo.
r = 5a – b
– (a + b) = 5a – b – a – b = 4a – 2b
A cada
balanço uma firma tem apresentado um aumento de 10% em seu capital. A razão
de progressão formada pelos capitais nos balanços é:
Solução:[
Sendo C o
capital inicial, temos:
C,1,1C,
(1,1)²C,...
Logo a
razão q é dada por:
q =
1,1C/C = 1,1 = 11/10
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