Mensagem de Fim de Ano 2012-2013

Feliz Ano Novo!

Ilusões de Optica

Linhas retas ou tortas?

Figuras Psicodélicas

Círculos Girando...

Foco

Qual cinza é mais escuro?

Possível? Para cima ou para baixo?

Distorção Visual

Pirata ou homem rezando?

Cubo possível?

Bruxa ou princesa?

Amanhecer - Ode a Alegria.wmv

Poema de Amor Matemático

Do século IX ao fim do século XI, as ciências nas regiões do Islã eram expressas quase exclusivamente em língua árabe. A partir do século XII, foram forjadas terminologias científicas em persa e no hebreu. Entretanto, a prosa foi a expressão científica majoritária nas três línguas na terra do Islã. 

A poesia gozava de prestígio nas diferentes camadas sociais do império e os cientistas não tardaram a se interessar por ela, como objeto de estudo e como meio de expressão ou instrumento pedagógico. 

Esse bilhete amoroso sob forma de um enigma versificado está no fim de uma epístola extremamente séria do não menos sério matemático de Marrakech (Cidade do sudoeste de Marrocos), Ibn Al-Banna: 

 

Três sétimos do coração para seu olhar.
Um sétimo é oferecido para a rosa de suas bochechas.
Um sétimo e a metade de um sétimo e o quarto,
Pela recusa de um desejo insatisfeito.
Um sétimo e um sexto de um quarto são a parte dos seios bem redondos
Que me recusaram ao pecado do meu abraço e me empurraram
O resto, que está em cinco partes, e pelas palavras dela,
Que estancariam minha sede se tivesse sido escutadas.
Se considerarmos x o coração inteiro, podemos equacionar este poema da seguinte forma:

Resolvendo a equação em x, obtemos:


 

Referências:
[1] Scientific American – Edição Especial Nº11 - Etnomatemática

A ORIGEM DOS NÚMEROS NEGATIVOS

O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número Natural. 

    Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números positivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtracção, como por exemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas
sobre números negativos e positivos. 

    Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como por exemplo:

 

4 = 4x +20
3x -18 = 5x^2

    Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi. Cardano usou os números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas.

 Demonstração da regra dos sinais (segundo Euler)

    Euler, um virtuoso do cálculo como se constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz como manejava os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais. Consideremos os seus argumentos: 

    1- A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3 dívidas de a escudos é uma dívida de 3a escudos, logo (b).(-a) = -ab. 

    2- Por comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -ab
Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa. 

    3- Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é ab. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é -ab, só resta como única possibilidade que (-a).(-b) = +ab.
 

É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como Stendhal, não pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo, este tipo de argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes resultados aceitalvelmente. Na mesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas uma quantidade que se pode representar por uma letra precedida do sinal - (menos). Euler não compreende ainda que os números negativos são quantidades menores que zero. 

A invenção do zero foi uma das maiores aventuras intelectuais da humanidade - e não só para a Matemática

As regras que valem para todos os outros não servem para ele. Só as obedece como e quando bem entende. “Assim faço a diferença”, costuma dizer. Mas não é nem um pouco egoísta. Pelo contrário. Quanto mais à direita ele vai, mais aumenta o valor do colega da esquerda, multiplicando-o por dez, 100 ou 1 000. Trata-se de um revolucionário. Com ar de bonachão, dá de ombros quando é comparado ao nada. “Sou mesmo”, diz. “Mas isso significa ser tudo.” Com vocês, o número zero – que ganha, nestas páginas, o papel que lhe é de direito: o de protagonista de uma odisséia intelectual que mudou o rumo das ciências exatas e trouxe novas reflexões para a história das idéias.

Pode soar como exagero atribuir tal importância a um número aparentemente inócuo. Às vezes, você até esquece que ele existe. Quem se preocupa em anotar que voltou da feira com zero laranjas? Ou que comprou ração para seus zero cachorrinhos? Só fica preocupado quando descobre um zero na conta bancária. Mesmo assim, logo que chega o pagamento seguinte, não sobra nem lembrança daquele número gorducho.

O símbolo “0” e o nome zero estão relacionados à idéia de nenhum, não-existente, nulo. Seu conceito foi pouco estudado ao longo dos séculos. Hoje, mal desperta alguma curiosidade, apesar de ser absolutamente instigante. “O ponto principal é o fato de o zero ser e não ser. Ao mesmo tempo indicar o nada e trazer embutido em si algum conteúdo”, diz o astrônomo Walter Maciel, professor da Universidade de São Paulo. Se essa dialética parece complicada para você, cidadão do século XXI, imagine para as tribos primitivas que viveram muitos séculos antes de Cristo.

A cultura indiana antiga já trazia uma noção de vazio bem antes do conceito matemático de zero. “Num dicionário de sânscrito, você encontra uma explicação bastante detalhada sobre o termo indiano para o zero, que é shúnya”, afirma o físico Roberto de Andrade Martins, do Grupo de História e Teoria da Ciência da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Como adjetivo, shúnya significa vazio, deserto, estéril. Aplica-se a uma pessoa solitária, sem amigos; a um indivíduo indiferente ou insensível. O termo descreve um sentimento de ausência, a falta de algo, uma ação sem resultados. Como substantivo, shúnya refere-se ao nada, ao vácuo, à inexistência. A partir do século VIII d.C., os árabes levaram para a Europa, junto com os outros algarismos, tanto o símbolo que os indianos haviam criado para o zero quanto a própria idéia de vazio, nulo, não-existente. E difundiram o termo shúnya – que, em árabe, se tornou shifr e foi latinizado para zephirum, depois zéfiro, zefro e, por fim, zero.

Bem distante da Índia, nas Américas, por volta dos séculos IV e III a.C., os maias também deduziram uma representação para o nada. O sistema de numeração deles era composto por pontos e traços, que indicavam unidades e dezenas. Tinham duas notações para o zero. A primeira era uma elipse fechada que lembrava um olho. Servia para compor os números. A segunda notação, simbólica, remetia a um dos calendários dos maias. O conceito do vazio era tão significativo entre eles que havia uma divindade específica para o zero: era o deus Zero, o deus da Morte. “Os maias foram os inventores desse número no continente americano. A partir deles, outros grupos, como os astecas, conheceram o princípio do zero”, diz o historiador Leandro Karnal, da Unicamp.

E os geniais gregos, o que pensavam a respeito do zero? Nada. Apesar dos avanços na geometria e na lógica, os gregos jamais conceberam uma representação do vazio, que, para eles, era um conceito até mesmo antiestético. Não fazia sentido existir vazio num mundo tão bem organizado e lógico – seria o caos, um fator de desordem. (Os filósofos pré-socráticos levaram em conta o conceito de vazio entre as partículas, mas a idéia não vingou.) Aristóteles chegou a dizer que a natureza tinha horror ao vácuo.

“Conceber o conceito do zero exigiu uma abstração muito grande”, diz o historiador da matemática Ubiratan D’Ambrosio, da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC). Quando o homem aprendeu a calcular, há cerca de 5 000 anos, fazia associações simples a partir de situações concretas: para cada ovelha, uma pedrinha. Duas ovelhas, duas pedrinhas e assim por diante. “Se sobrassem pedras, o pastor sabia que provavelmente alguma ovelha tinha sido atacada por um lobo ou se desgarrado das demais”, diz o matemático Irineu Bicudo, da Universidade Estadual Paulista (Unesp), em Rio Claro. O passo seguinte foi representar graficamente esses números com símbolos e fazer contas com eles.

Os babilônios, que viveram na Mesopotâmia (onde hoje é o Iraque) por volta do ano 2500 a.C., foram os primeiros a chegar a uma noção de zero. Pioneiros na arte de calcular, criaram o que hoje se chama de “sistema de numeração posicional”. Apesar do nome comprido, a idéia é simples. “Nesse sistema, os algarismos têm valor pela posição que ocupam”, explica Irineu. Trata-se do sistema que utilizamos atualmente. Veja o número 222 – o valor do 2 depende da posição em que ele se encontra: o primeiro vale 200, o segundo 20 e o terceiro 2. Outros povos antigos, como os egípcios e os gregos, não usavam esse sistema – continuavam a atribuir a cada número um sinal diferente, fechando os olhos para a possibilidade matemática do zero.

O sistema posicional facilitou, e muito, os cálculos dos babilônios. Contudo, era comum que muitas contas resultassem em números que apresentavam uma posição vazia, como o nosso 401. (Note que, depois do 4, não há número na casa das dezenas. Se você não indicasse essa ausência com o zero, o 401 se tornaria 41, causando enorme confusão.) O que, então, os babilônios fizeram? Como ainda não tinham o zero, deixaram um espaço vazio separando os números, a fim de indicar que naquela coluna do meio não havia nenhum algarismo (era como se escrevêssemos 4_1). O palco para a estréia do zero estava pronto. Com o tempo, para evitar qualquer confusão na hora de copiar os números de uma tábua de barro para outra, os babilônios passaram a separar os números com alguns sinais específicos. “Os babilônios tentaram representar graficamente o nada, mostrando o abstrato de uma forma concreta”, diz Ubiratan.

Perceba como um problema prático – a necessidade de separar números e apontar colunas vazias – levou a uma tentativa de sinalizar o não-existente. “Trata-se de uma abstração bastante sofisticada representar a inexistência de medida, o vazio enquanto número, ou seja, o zero”, diz a historiadora da ciência Ana Maria Alfonso Goldfarb, da PUC. “Temos apenas projeções culturais a respeito do que é abstrato”, afirma Leandro Karnal. Na tentativa de tornar concreta uma situação imaginária, cada povo busca as referências que tem à mão. Veja o caso dos chineses: eles representavam o zero com um caractere chamado ling, que significava “aquilo que ficou para trás”, como os pingos de chuva depois de uma tempestade. Trata-se de um exercício tremendo de abstração. Você já parou para pensar como, pessoalmente, encara o vazio?

Apesar de ser atraente, o zero não foi recebido de braços abertos pela Europa, quando apareceu por lá, levado pelos árabes. “É surpreendente ver quanta resistência a noção de zero encontrou: o medo do novo e do desconhecido, superstições sobre o nada relacionadas ao diabo, uma relutância em pensar”, diz o matemático americano Robert Kaplan, autor do livro The Nothing That Is (O Nada que Existe, recém-lançado no Brasil) e orientador de um grupo de estudos sobre a matemática na Universidade Harvard. O receio diante do zero vem desde a Idade Média. Os povos medievais o ignoravam solenemente. “Com o zero, qualquer um poderia fazer contas”, diz Ana Maria. “Os matemáticos da época achavam que popularizar o cálculo era o mesmo que jogar pérolas aos porcos.” Seria uma revolução.

Por isso, Kaplan considera o zero um número subversivo. “Ele nos obriga a repensar tudo o que alguma vez já demos por certo: da divisão aritmética à natureza de movimento, do cálculo à possibilidade de algo surgir do nada”, afirma. Tornou-se fundamental para a ciência, da computação à astronomia, da química à física. “O cálculo integral e diferencial, desenvolvido por Newton e Leibniz, seria inviável sem o zero”, diz Walter Maciel. Nesse tipo de cálculo, para determinar a velocidade instantânea de um carro, por exemplo, você deve levar em conta um intervalo de tempo infinitamente curto, que tende a zero. (É estranho calcular quanto o carro se deslocou em “zero segundos”, mas é assim que funciona.) “O cálculo integral está na base de tudo o que a ciência construiu nos últimos 200 anos”, diz Maciel.

Ainda hoje o conceito de zero segue revirando nossas idéias. Falta muito para entendermos a complexidade desse número. Para o Ocidente, o zero continua a ser uma mera abstração. Segundo Eduardo Basto de Albuquerque, professor de história das religiões da Unesp, em Assis, o pensamento filosófico ocidental trabalha com dois grandes paradigmas que não comportam um vazio cheio de sentido, como o indiano: o aristotélico (o mundo é o que vemos e tocamos com nossos sentidos) e o platônico (o mundo é um reflexo de essências imutáveis e eternas, que não podemos atingir pelos sentidos e sim pela imaginação e pelo conhecimento). “O Ocidente pensa o nada em oposição à existência de Deus: se não há Deus, então é o nada”, diz Eduardo. Ora, mesmo na ausência, poderia haver a presença de Deus. E o vazio pode ser uma realidade. É só pensar na teoria atômica, desenvolvida no século XX: o mundo é formado por partículas diminutas que precisam de um vazio entre elas para se mover.

Talvez o zero assuste porque carrega com ele um outro paradigma: o de um nada que existe efetivamente.

Na matemática, por mais que pareça limitado a um ou dois papéis, a função do zero também é “especial” – como ele mesmo faz questão de mostrar – porque, desde o primeiro momento, rebelou-se contra as regras que todo número precisa seguir. O zero viabilizou a subtração de um número natural por ele mesmo (1 – 1 = 0). Multiplicado por um algarismo à escolha do freguês, não deixa de ser zero (0 x 4 = 0). Pode ser dividido por qualquer um dos colegas (0 ÷ 3 = 0), que não muda seu jeitão. Mas não deixa nenhum número – por mais pomposo que se julgue – ser dividido por ele, zero. Tem ainda outros truques. Você pensa que ele é inútil? “Experimente colocar alguns gêmeos meus à direita no valor de um cheque para você ver a diferença”, diz o zero. No entanto, mesmo que todos os zeros do universo se acomodem no lado esquerdo de um outro algarismo nada muda. Daí a expressão “zero à esquerda”, que provém da matemática e indica nulidade ou insignificância.

Mas o zero – como você pôde ver – decididamente não é um zero à esquerda. “Foi uma surpresa constatar como é central a idéia de zero: o nada que gera tudo”, diz Kaplan. E mais: há quem diga que o zero é parente do infinito, outra abstração que mudou as bases do pensamento científico, religioso e filosófico. “Eles são equivalentes e opostos, yin e yang”, escreve o jornalista americano Charles Seife, autor de Zero: The Biography of a Dangerous Idea (Zero: A Biografia de uma Idéia Perigosa), lançado no ano passado nos Estados Unidos. O epíteto atribuído ao zero no título – idéia perigosa – não está ali por acaso. “Apesar da rejeição e do exílio, o zero sempre derrotou aqueles que se opuseram a ele”, afirma Seife. “A humanidade nunca conseguiu encaixar o zero em suas filosofias. Em vez disso, o zero moldou a nossa visão sobre o universo – e também sobre Deus.” E influenciou, sorrateiramente, a própria filosofia. De fato, trata-se de um perigo.

 

por Maria Fernanda Vomero

Para saber mais

Os babilônios tinham vários símbolos para o zero, como estas duplas de triângulos

 Os babilônios também usavam o símbolo ao lado, formado por dois sinais, para separar algarismos

 Criativos, os maias davam ao zero vários ícones, como esta elipse

 O símbolo maia mais famoso para o zero era a elipse com forma de olho

 No calendário, os maias usavam este desenho para representar o zero

 Num antigo tabuleiro de calcular, de origem desconhecida, este era o símbolo para o zero

 Dos indianos até os árabes, a forma do zero mudou de um ponto para um círculo

 O conjunto vazio, representado por chaves ou parênteses, é um modo de indicar o zero

 

A ORIGEM DO ZERO

Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro.
O sistema sexagesimal babilônico usado nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional, ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.)  usava-se um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo  ou 0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”). Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no arranjo alfabético regular.

Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais. 

É possível que o mais antigo símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., embora alguns historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas uma conjectura.  

Como a mais antiga forma do símbolo hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”. Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”. Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum  por volta do ano 1200, mantendo-se seu  som mas não seu sentido. Mudanças sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro e cifre,  levaram as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra” hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não ocorria no original hindu. 

 

O NÚMERO Pi

O que é o Pi? A relação que existe entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro é uma das grandes constantes universais conhecidas pelo homem, a que se deu o nome de Pi. Isto quer dizer que se pudéssemos ter uma circunferência de um metro de diâmetro construída com um fio, cortássemos o fio e o estendêssemos no chão para formar um segmento, este teria um comprimento exactamente igual ao valor de Pi (3,14…). Um pouco de história… A primeira referência ao valor de pi aparece na Bíblia: "Fez logo um mar de metal fundido, de dez cotovelos de ponta a pontaos, de uma borda até à outra borda, redondo ao redor, e de cinco côvados ao alto; e um cordão de trinta côvados o cingia, em redor." Aqui, o valor de p é 3, bastante inexacto. Desde sempre, este número mágico despertou a atenção dos estudiosos. Os historiadores calculam que, desde 2000 a.C., os homens têm consciência de que a razão entre a circunferência e o seu diâmetro é igual para todos os círculos. A primeira utilização de um símbolo para representar a razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro remonta a 1689, quando J. Cristoph Sturm, no seu livro Mathesis enucleata, utilizou para isso a letra e. Foi William Jones, em 1706, que utilizou a letra grega. Mas porque escolheu esta letra? O motivo era que a letra p, primeira letra da palavra grega perimetron (perímetro), correspondia à letra no alfabeto grego. Curiosidade Escolha uma sequência de algarismos, um número que lhe seja familiar (número de telefone, o número do seu bilhete de identidade…). Experimente procurar a sequência que escolheu no número, para tal consulte a página: http://www.atractor.pt/fromPI/PIsearch.html A procura é feita pelo computador nos primeiros algarismos do Pi e, aí, existe uma forte probabilidade de encontrar o número que escolheu, se este não tiver mais que nove algarismos.

Democracia?