Divertindo com a Matemática

Funções de 1º e de 2º Graus

Reconheça as curvas mais comuns

Sob um ponto de vista operacional, uma função pode ser considerada um conjunto de pares ordenados (x; y), criados de acordo com determinado critério; plotados em um sistema de coordenadas cartesianas.

Os pares ordenados assim criados produzem o que se chama de gráfico da função. O conjunto dos valores x é chamado domínio da função, e o conjunto dos y é chamado imagem da função.

Nos pares ordenados, cada valor x é utilizado apenas uma vez.

Função polinomial do primeiro grau

f(x) = ax . Retas, cujo crescimento depende do sinal do coeficiente a.





                              

Função polinomial do segundo grau

f(x) = ax² . Parábolas, cuja concavidade depende do sinal do coeficiente a

Função do 1º grau:

 
Obs: PARA LER OS RETÂNGULOS EM BRANCO É SÓ CLICAR E SELECIONAR PARA O TEXTO APARECER

 

O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.

Exemplo:
1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
 

x y=f(x)=x+1 -2 -1 -1  0 0  1 1  2 2  3

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.

[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
 

x y=f(x)=-x+1 -2  3 -1  2 0  1 1  0 2 -1

O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}

Gráficos crescente e decrescente respectivamente:
 

y = x+1 ( a > 0 ) ; onde a = 1

Função crescente

y = -x+1 ( a < 0 ); onde a=-1

Função decrescente

Raiz ou zero da função do 1º grau:
 

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).

1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.

[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0

x+1=0  »  x=-1

Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.
 

Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol] Fazendo y=0, temos:
         0 = -x+1  »  x = 1
Gráfico:

Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

Função do 2º grau

 

   A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
 

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a diferente de 0.

Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )

Gráfico de uma função do 2º grau:

 

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola

   Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.
 

   Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:
 

Representação Gráfica

Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
 

x  y = x² -2 y = (-2)² = 4 -1 y = (-1)² = 1 0 y = 0² = 0 1 y = 1² = 1 2 y = 2² = 4 3 y = 3² = 9

   Notem que os ponto2s:9 A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.
Coordenadas do vértice
   A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .
   Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3

Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.

Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!

Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.

y=f(x)=0

Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:

Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²+5x+6=0

Acharemos que x = -2 e x` = -3.
Concavidade da parábola
Explicarei esta parte com um simples desenho.

Positiva	Negativa

Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).
Exemplos:

y = f(x) = x² - 4

a = 1 >0

y = f(x) = -x² + 4

a = -1

[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.
Quando o discriminante é igual a zero
Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.
Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1

x²+2x+1=0

x=x`=-b/2a=-1

As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)

Gráfico:

Quando o discrimintante é maior que zero

Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).

Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3

x²-4x+3=0
 
x=1, x`=3

Gráfico:

Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.

Exemplo: y = f(x) = x²-x+2

x²-x+2=0

Gráfico:

Resumindo:

a>0	a>0	a>0

a<0	a<0	a<0

Esboçando o gráfico
Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3
1ª etapa: Raízes ou zeros da função

-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x=-1, x`=-3

2ª etapa: Coordenadas do vértice

Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2

Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1

Portanto, V=(-2,1)

3ª etapa: Concavidade da parábola

y=-x²-4x-3

Como a=-1 < 0, a concavidade estará voltada para baixo

Feito isso, vamos esboçar o gráfico: