Funções de 1º e de 2º Graus
Reconheça as curvas mais comuns
Sob um ponto de vista operacional, uma função pode ser considerada um conjunto de pares ordenados (x; y), criados de acordo com determinado critério; plotados em um sistema de coordenadas cartesianas.
Os pares ordenados assim criados produzem o que se chama de gráfico da função. O conjunto dos valores
x é chamado domínio da função, e o conjunto dos
y é chamado imagem da função.
Nos pares ordenados, cada valor x é utilizado apenas uma vez.
f(x) = ax . Retas, cujo crescimento depende do sinal do coeficiente a.
f(x) = ax
2 . Parábolas, cuja concavidade depende do sinal do coeficiente a
Função do 1º grau:
Obs: PARA LER OS RETÂNGULOS EM BRANCO É SÓ CLICAR E SELECIONAR PARA O TEXTO APARECER
O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta. |
x | y=f(x)=x+1 |
-2 | -1 |
-1 | 0 |
0 | 1 |
1 | 2 |
2 | 3 |
| O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}
|
2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
x | y=f(x)=-x+1 |
-2 | 3 |
-1 | 2 |
0 | 1 |
1 | 0 |
2 | -1 |
| O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}
|
Gráficos crescente e decrescente respectivamente:
y = x+1 ( a > 0 ) ; onde a = 1 |
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Função crescente |
y = -x+1 ( a < 0 ); onde a=-1 |
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Função decrescente |
Raiz ou zero da função do 1º grau:
| Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0). |
|
1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.
[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0
x+1=0 » x=-1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.
Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.
2)
Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 = -x+1 » x = 1
Gráfico:
Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.
Função do 2º grau
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
 y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a diferente de 0. |
Gráfico de uma função do 2º grau:
O gráfico de uma função quadrática
é uma parábola |
Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:
Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
| x | y = x² |
| -2 | y = (-2)² = 4 |
| -1 | |
| 0 | |
| 1 | y = 1² = 1 |
| 2 | y = 2² = 4 |
| 3 | y = 3² = 9 |
| |
.
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.
y=f(x)=0
Exemplo: na função y=x²-4x+3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as raízes da função serão x=1 e x`=3.
Vejamos o gráfico:
Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.
Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?
Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.
Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:
Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0
Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.
x²+5x+6=0
Acharemos que x = -2 e x` = -3.
Concavidade da parábola
Explicarei esta parte com um simples desenho.
 |  |
Positiva | Negativa |
Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).
Exemplos:
y = f(x) = x² - 4 |
|
a = 1 >0 |
y = f(x) = -x² + 4 |
|
a = -1 |
[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.
Quando o discriminante é igual a zero
Quando o valor de 
, o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.
Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1
x²+2x+1=0
x=x`=-b/2a=-1 As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)
Gráfico:
Quando o discrimintante é maior que zero
Quando o valor de 
, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente). Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3
x²-4x+3=0
x=1, x`=3 Gráfico:
Quando o discriminante é menor que zero
Quando o valor de 
, a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função. Exemplo: y = f(x) = x²-x+2
x²-x+2=0
Gráfico:
Resumindo:
Esboçando o gráfico
Para finalizarmos (ufa!), vamos desenhar o gráfico da função
y=-x²-4x-3
1ª etapa: Raízes ou zeros da função
-x²-4x-3=0
Aplicando a fórmula de Bháskara
x=-1, x`=-3
2ª etapa: Coordenadas do vértice
Coordenada x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2
Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1
Portanto, V=(-2,1)
3ª etapa: Concavidade da parábola
y=-x²-4x-3
Como a=-1 < 0, a concavidade estará voltada para baixo
Feito isso, vamos esboçar o gráfico:
